ΚΩΝΙΚΕΣ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Παρουσίαση

Γιατί ένα βιβλίο με κωνικές; Οι κωνικές ήταν πάντα ένας προνομιακός τομέας των μαθηματικών, πολύ πλούσιος αφού αναπτύσσει ένα δίκτυο διασυνδέσεων μεταξύ της γεωμετρίας και της άλγεβρας και μας δίνει την ευκαιρία να μελετήσουμε διαφορετικούς τύπους προβλημάτων όπως οι κατασκευές, οι γεωμετρικοί τόποι, η έρευνα και η επαλήθευση ιδιοτήτων. Πιο συγκεκριμένα: η κατασκευή μιας κωνικής βάζει στο παιχνίδι πολυάριθμες κατασκευές της στοιχειώδους γεωμετρίας, ο γεωμετρικός τόπος εισάγει τον αλγοριθμικό αυτοματισμό, η έρευνα και η επαλήθευση ιδιοτήτων απαιτούν την σύνθεση του συνόλου των γεωμετρικών μεθόδων, όπως τη γεωμετρία των σχημάτων, των μετασχηματισμών και τη μετρική γεωμετρία.
Το παρόν βιβλίο περιέχει είκοσι βασικές κατασκευές κωνικών και στοιχείων τους, πάνω από διακόσιες ασκήσεις και μια συλλογή προβλημάτων που προσεγγίζουν το αντικείμενο με έναν ιδιαίτερο τρόπο ικανό να ανταποκριθεί στις νέες απαιτήσεις που δημιούργησε η εισαγωγή των συστημάτων συμβολικού υπολογισμού και δυναμικής γεωμετρίας στην μαθησιακή πρακτική. Πολλές ασκήσεις και προβλήματα έχουν σχεδιασθεί για να χρησιμοποιηθούν σαν υλικό εργασίας των μαθηματικών ομίλων του Λυκείου. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)

Περιεχόμενα

- Εισαγωγή
- Βασικοί ορισμοί και εξισώσεις κωνικών
Ο κύκλος
Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου
Εξίσωση εφαπτομένης
Η εξίσωση x2 +y2 + Αx + Βy + Γ = 0
Εξίσωση περιγεγραμμένου κύκλου
Η παραβολή
Η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής
Η εξίσωση της εφαπτομένης
Παραμετρικές εξισώσεις παραβολής
Η έλλειψη
Η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης
Η εξίσωση της εφαπτομένης
Παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης
Η υπερβολή
Η ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής
Η εξίσωση της εφαπτομένης
Παραμετρικές εξισώσεις υπερβολής
Η εκκεντρότητα. Ένας άλλος ορισμός των κωνικών
Αναλυτικός ορισμός καμπυλών δευτέρου βαθμού
Η επεξεργασία κωνικών στο Maple
- Προβολές
Μεταβολές και αναλλοίωτα
Το θεώρημα Pascal και το θεώρημα Brianchon
- Κατασκευές
Κατασκευή κωνικής ως τομή επιπέδου και κώνου
Κατασκευή σημείων κωνικών
Κατασκευή σημείου κωνικής
Κατασκευή κωνικής από πέντε σημεία
Κατασκευή κωνικών με την ιδιότητα της εκκεντρότητας
Κατασκευή παραβολής
Κατασκευή κωνικών με κέντρο
Κατασκευή κωνικής C (Ε, α, Ε')
Κατασκευή κωνικής C (Ε1, Ε2, Μ)
Κατασκευή ισοσκελούς υπερβολής από τέσσερα σημεία
Κατασκευή κωνικής από 3 σημεία, μία εφαπτομένη και το σημείο επαφής
Κατασκευή κωνικής από 3 σημεία και 2 εφαπτόμενες
Κατασκευή κωνικών με origami
Κατασκευές χαρακτηριστικών στοιχείων κωνικών
- Ασκήσεις
Παραβολή
Αλγεβρικές ιδιότητες
Γεωμετρικές ιδιότητες
Έλλειψη-Κύκλος
Αλγεβρικές ιδιότητες
Γεωμετρικές ιδιότητες
Υπερβολή
Αλγεβρικές ιδιότητες
Γεωμετρικές ιδιότητες
Αναλυτικός Ορισμός Κωνικών
- Προβλήματα
Τεχνολογία και εφαρμογές των μαθηματικών
Εμβαδά τμημάτων κωνικών και μήκη καμπυλών κωνικής
Εμβαδά τμημάτων κωνικής
Μήκη καμπυλών κωνικής
Αναλύοντας ένα κλασικό πρόβλημα
Γεωμετρία versus Άλγεβρα
Γεωμετρική σημασία διακρίνουσας
Το κόσκινο του Matiyasevich
Συμπεριφορά ριζών εξίσωσης 3ου βαθμού
Λύση της εξίσωσης Pell-Fermat