ΑΡΧΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ

Παρουσίαση

Τα βιβλία του Walter Rudin θεωρούνται τα διαμάντια της Μαθηματικής Βιβλιογραφίας στο χώρο της Μαθηματικής Αναλύσεως. Ιδιαίτερα στις ''Αρχές της Μαθηματικής Αναλύσεως'' μπορεί να πει κανείς ότι ποτέ πριν τόση ύλη δεν χώρεσε σε τόσες λίγες σελίδες και με τέτοιο γλαφυρό, κομψό και λιτό τρόπο.
Εκατοντάδες χιλιάδες μαθηματικών ανά τον κόσμο το απόλαυσαν και το απολαμβάνουν. Οι μεταπτυχιακοί φοιτητές στην Αμερική το αποκαλούν χαϊδευτικά ''baby Rudin'' σε αντιδιαστολή με το ''Real and Complex Analysis'', το ''papa Rudin''.
Η πρώτη έκδοση του βιβλίου εμφανίστηκε στην Ελλάδα το 1960 και οι φοιτητές των Μαθηματικών το χρησιμοποιούσαν σε πρόχειρες μεταφράσεις για το μάθημα του Απειροστικού Λογισμού του 2ου έτους.
Η παρούσα μετάφραση, εμπλουτισμένη με βιογραφικά σημειώματα όλων των μαθηματικών που αναφέρονται στο κείμενο, αναμφισβήτητα θα αποτελέσει το βιβλίο στο οποίο θα πρέπει να καταφεύγει κάθε σοβαρός φοιτητής των Μαθηματικών και κάθε σοβαρός πτυχιούχος μαθηματικός. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)

Περιεχόμενα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΗ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑ
1 ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Εισαγωγή
Διατεταγμένα σύνολα
Σώματα
Το σώμα των πραγματικών αριθμών
Το εκτεταμένο αριθμητικό σύστημα των πραγματικών αριθμών
Το σώμα των μιγαδικών αριθμών
Ευκλείδειοι χώροι
Παράρτημα
2 ΒΑΣIΚΕΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΣΕΙΣ
Πεπερασμένα, αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα
Μετρικοί χώροι
Συμπαγή σύνολα
Τέλεια σύνολα
Συνεκτικά σύνολα
3 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ
Συγκλίνουσες ακολουθίες
Υπακολουθίες
Ακολουθίες Cauchy
Ανώτερα και κατώτερα όρια
Ορισμένες ειδικού τύπου ακολουθίες
Σειρές
Σειρές μη αρνητικών όρων
Ο αριθμός e
Τα κριτήρια της ρίζας και του λόγου
Δυναμοσειρές
Άθροιση κατά μέρη
Απόλυτη σύγκλιση
Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός σειρών
Αναδιατάξεις
4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Όρια συναρτήσεων
Συνεχείς συναρτήσεις
Συνέχεια και συμπάγεια
Συνέχεια και συνεκτικότητα
Είδη ασυνεχειών
Μονότονες συναρτήσεις
Άπειρα όρια και όρια στο άπειρο
5 ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ
Η παράγωγος πραγματικής συναρτήσεως
Θεωρήματα μέσης τιμής
Συνέχεια των παραγώγων
Ο κανόνας του L' Hospital
Παράγωγοι ανώτερης τάξεως
Το θεώρημα του Taylor
Παραγώγιση διανυσματικών συναρτήσεων
6 ΤΟ ΚΑΤΑ RIEMANN-STIELTJES ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Ορισμός και ύπαρξη του ολοκληρώματος
Ιδιότητες του ολοκληρώματος
Ολοκλήρωση και παραγώγιση
Ολοκλήρωση διανυσματικών συναρτήσεων
Ευθυγραμμίσιμες καμπύλες
7 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Θεώρηση του βασικού προβλήματος
Ομοιόμορφη σύγκλιση
Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια
Ομοιόμορφη σύγκλιση και ολοκλήρωση
Ομοιόμορφη σύγκλιση και παραγώγιση
Ισοσυνεχείς οικογένειες συναρτήσεων
Το θεώρημα των Stone και Weierstrass
8 ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΕΙΔΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Δυναμοσειρές
Η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Η αλγεβρική πληρότητα του σώματος των μιγαδικών αριθμών
Σειρές Fourier
Η συνάρτηση γάμμα
9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
Γραμμικοί μετασχηματισμοί
Διαφόριση
Ο κανόνας της συστολής
Το θεώρημα αντίστροφης συναρτήσεως
Το θεώρημα πεπλεγμένης συναρτήσεως
Το θεώρημα της βαθμίδας
Ορίζουσες
Παράγωγοι ανώτερης τάξεως
Παραγώγιση ολοκληρωμάτων
10 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ
Ολοκλήρωση
Πρωταρχικές απεικονίσεις
Διαμερίσεις της μονάδας
Αλλαγή μεταβλητών
Διαφορικές μορφές
Μονόπλοκα και αλυσίδες
Το θεώρημα του Stokes
Κλειστές και ακριβείς μορφές
Διανυσματική ανάλυση
11 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ LEBESGUE
Συνολοσυναρτήσεις
Η κατασκευή του μέτρου Lebesgue
Χώροι μέτρου
Μετρήσιμες συναρτήσεις
Απλές συναρτήσεις
Ολοκλήρωση
Σύγκριση με το κατά Riemann ολοκλήρωμα
Ολοκλήρωση μιγαδικών συναρτήσεων
Συναρτήσεις κλάσεως L2
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ