ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Παρουσίαση

Το παρόν βιβλίο αποτελεί μια εισαγωγή στη Θεωρία των Χώρων με Νόρμα και καλύπτει την ύλη που διδάσκεται σε ένα προπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακής Ανάλυσης.
Ως προς το περιεχόμενο, περιλαμβάνονται οι διανυσματικοί χώροι, οι χώροι με νόρμα, οι γραμμικοί-φραγμένοι τελεστές και οι χώροι Hilbert. Επιπλέον, παρουσιάζουμε τα βασικά θεωρήματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης, όπως το θεώρημα επέκτασης Hahn-Banach, μαζί με τις γεωμετρικές του συνέπειες και τις εφαρμογές του θεωρήματος του Baire στους χώρους Banach.
Το κάθε κεφάλαιο περιλαμβάνει την απαραίτητη θεωρία και πλήθος λυμένων ασκήσεων, διαφόρων βαθμών δυσκολίας. Να σημειώσουμε ότι πολλά από τα θέματα που επιλέχθηκαν έχουν αποτελέσει κλασικά θέματα εξετάσεων σε Μαθηματικές σχολές. Επιπλέον, έχει προστεθεί σε κάθε ενότητα και μια σειρά ερωτήσεων τύπου σωστό-λάθος για πληρέστερη εμπέδωση της ύλης. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)

Περιεχόμενα

Εισαγωγή
1 Διανυσματικοί Χώροι
1.1 Διανυσματικοί Χώροι - Υπόχωροι
1.2 Γραμμική Ανεξαρτησία
1.3 Γραμμική θήκη και βάση
1.4 Γραμμικοί τελεστές
1.5 Λυμένα Θέματα
1.6 Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
2 Χώροι με νόρμα
2.1 Ορισμοί
2.2 Τοπολογικές έννοιες
2.3 Χώροι Banach
2.4 Ισοδυναμία νορμών
2.5 Κλασικά παραδείγματα χώρων με νόρμα
2.6 Σειρές σε χώρους με νόρμα
2.7 Λυμένα Θέματα
2.8 Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
3 Γραμμικοί φραγμένοι τελεστές
3.1 Ορισμοί και βασικές ιδιότητες
3.2 Η νόρμα γραμμικού φραγμένου τελεστή
3.3 Ισομορφισμοί και ισομετρίες
3.4 Ο δυϊκός ενός χώρου με νόρμα
3.5 Λυμένα Θέματα
3.5.1 Ενότητα πρώτη: γενική θεωρία
3.5.2 Ενότητα δεύτερη: υπολογισμοί
3.5.3 Ενότητα τρίτη: το συναρτησοειδές Dirac
3.5.4 Ενότητα τέταρτη: επίλυση εξισώσεων
3.6 Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
4 Χώροι με νόρμα πεπερασμένης διάστασης
4.1 Βασικά αποτελέσματα
4.2 Συμπάγεια και διάσταση
4.3 Λυμένα Θέματα
4.4 Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
5 Χώροι Hilbert
5.1 Χώροι εσωτερικού γινομένου
5.2 Ορθογώνια σύνολα
5.3 Χώροι Hilbert
5.4 Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz
5.5 Ορθοκανονικές βάσεις
5.6 Λυμένα Θέματα
5.7 Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
6 Το Θεώρημα Hahn-Banach
6.1 Γενικά - διατύπωση του θεωρήματος επέκτασης Hahn-Banach
6.2 Αναλυτικές συνέπειες του θεωρήματος Hahn-Banach
6.3 Κανονική εμφύτευση - αυτοπαθείς χώροι Banach
6.4 Λυμένα Θέματα
6.5 Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
Γεωμετρικές συνέπειες του θεωρήματος Hahn-Banach
7.1 Το συναρτησοειδές Minkowski
7.2 Κυρτή θήκη
7.3 Διαχωριστικά Θεωρήματα
7.4 Ακραία σημεία
7.5 Λυμένα Θέματα
7.6 Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
8 Το θεώρημα του Baire σε χώρους Banach
8.1 Η αρχή ομοιόμορφου φράγματος
8.2 Το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης
8.3 Το θεώρημα κλειστού γραφήματος
8.4 Λυμένα Θέματα
9 Θέματα εξετάσεων
Α' Χρήσιμες γνώσεις από τη Θεωρία Μετρικών Χώρων
Β' Απαντήσεις στις ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
Γ' Κατάλογος αντιπαραδειγμάτων
Βιβλιογραφία
Εργογραφία