Στοχαστικές διαδικασίες

Παρουσίαση

Το παρόν κείμενο είναι μια εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες, σύμφωνη με τη διδασκαλία ενός προπτυχιακού μαθήματος στις πολυτεχνικές και μαθηματικές σχολές. Ως προς το περιεχόμενο, περιλαμβάνονται οι στοχαστικές διαδικασίες διακριτού χρόνου: γενική θεωρία Μαρκοβιανών αλυσίδων, ταξινόμηση του χώρου καταστάσεων, στατιστικά των χρόνων άφιξης, η έννοια της αναλλοίωτης κατανομής, οριακές πιθανότητες και εργοδικά θεωρήματα. Ως εφαρμογή, μελετούμε αναλυτικά διάφορες εκδοχές του τυχαίου περιπάτου στους ακεραίους. Παρουσιάζουμε επιπλέον και στοχαστικές διαδικασίες συνεχούς χρόνου: διαδικασίες Poisson, κατά πρώτο λόγο και διαδικασίες Gauss (τυπική κίνηση Brown) κατά δεύτερο λόγο. Ως προς τη δομή, το κείμενο χωρίζεται σε τρία βασικά μέρη: το πρώτο μέρος περιλαμβάνει την απαραίτητη θεωρία. Παρουσιάζουμε όλα τα θεωρήματα που χρειαζόμαστε, προχωρώντας σε παρουσίαση των αποδείξεων εκείνων που κρίναμε σημαντικές για εκπαιδευτικούς λόγους. Το δεύτερο και κεντρικό μέρος του κειμένου περιλαμβάνει περίπου 220 υποδειγματικά λυμένα προβλήματα, διαφόρων επιπέδων δυσκολίας, κάποια από τα οποία έχουν αποτελέσει θέματα εξετάσεων σε πολυτεχνικές και μαθηματικές σχολές. Επίσης, περιλαμβάνονται ερωτήσεις σωστού-λάθους, με πλήρεις απαντήσεις στο τέλος του βιβλίου, για πληρέστερη εμπέδωση της ύλης. Τέλος, η τρίτη ενότητα περιέχει υποδειγματικά λυμένες εξεταστικές στο αντίστοιχο προπτυχιακό μάθημα της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜΠ. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)

Περιεχόμενα

Εισαγωγή
Ι. Θεωρία
1.1 Στοχαστικές ανελίξεις, γενικά
1.2 Στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου
Ανέλιξη Gauss, τυπική κίνηση Brown
Στοχαστική ανέλιξη Poisson
1.3 Στοχαστικές ανελίξεις διακριτού χρόνου
Μαρκοβιανές αλυσίδες διακριτού χρόνου, γενικά
Πίνακες και διαγράμματα πιθανοτήτων μετάβασης
Κατανομές στο χώρο καταστάσεων
Ταξινόμηση των καταστάσεων
Χρόνοι πρώτης άφιξης
Αναλλοίωτες κατανομές
Χρονική αντιστρεψιμότητα
Εργοδικές αλυσίδες
Εργοδικά θεωρήματα
ΙΙ. Ασκήσεις
2 Στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου
Ανέλιξη Gauss, κίνηση Brown
Ανέλιξη Poisson
Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
3 Τυχαίοι περίπατοι
Ορισμοί
Λυμένα προβλήματα
Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
4 Μαρκοβιανές αλυσίδες διακριτού χρόνου
Συμπληρώματα θεωρίας
Λυμένα προβλήματα
Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
III. Εξεταστικές
5 Θέματα εξετάσεων
Α' Απαντήσεις στις ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος
Β' Εξισώσεις διαφορών 2ης τάξης και αθροίσματα
Βιβλιογραφία
Εργογραφία