ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Παρουσίαση

Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με σκοπό να εξυπηρετήσει με επαρκή -ελπίζουμε- τρόπο τις ανάγκες ενός πρώτου μαθήματος Μιγαδικής Ανάλυσης σε ένα Τμήμα Μαθηματικών. Οι προαπαιτούμενες γνώσεις για να διαβάσει κανείς αυτό το βιβλίο είναι μια καλή γνώση του λογισμού των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής καθώς και γνώση κάποιων στοιχείων από τον λογισμό των συναρτήσεων πολλών πραγματικών μεταβλητών (κυρίως βασικές γνώσεις μερικών παραγώγων). Παρ' όλα αυτά απαιτείται αρκετή μαθηματική ωριμότητα από τον αναγνώστη, τόση ώστε να είναι σε θέση να κατανοεί τα ε-δ επιχειρήματα τα σχετικά με τα όρια των συναρτήσεων.
Θα μπορούσε κανείς να ισχυρισθεί ότι η Μιγαδική Ανάλυση έχει κάτι να δώσει σε κάθε μαθηματικό, εφόσον έχει εφαρμογές σε ποικίλα πεδία των Μαθηματικών όπως στην ίδια την Ανάλυση, την Άλγεβρα, την Γεωμετρία, τις Διαφορικές Εξισώσεις, την Θεωρία Αριθμών και την Μαθηματική Φυσική. Η διαπίστωση αυτή οπωσδήποτε επηρέασε την συγγραφή αυτού του βιβλίου. Κύρια όμως καθοδηγούσα αρχή ήταν η σκέψη να γραφεί ένα βιβλίο που να περιέχει ικανό αριθμό επεξεργασμένων παραδειγμάτων και ασκήσεων που να υποστηρίζουν την θεωρία. Κατά κάποιον τρόπο ο στόχος μας ήταν η συγγραφή ενός "Μιγαδικού Απειροστικού Λογισμού".
Όσον αφορά στη διάρθρωση του βιβλίου, υπάρχουν επτά κεφάλαια και κάθε κεφάλαιο (εκτός του τρίτου) είναι χωρισμένο σε δυο μέρη. Το πρώτο μέρος περιέχει την βασική θεωρία, με παραδείγματα και ασκήσεις του αντιστοίχου κεφαλαίου, και το δεύτερο μέρος, επιγραφόμενο "ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ" περιέχει περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας, με εφαρμογές και ασκήσεις που συνήθως απευθύνονται στον απαιτητικότερο αναγνώστη. [...] (Από τον πρόλογο της έκδοσης)

Περιεχόμενα

Πρόλογος
Κεφάλαιο 1 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Οι αλγεβρικές πράξεις στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών
Το μιγαδικό επίπεδο
Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών
Ταυτότητες με μιγαδικούς αριθμούς
Η εξίσωση z"=w [...]
Πολυώνυμα μιας μιγαδικής μεταβλητής
Η εξίσωση e=w και η λογαριθμική συνάρτηση
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ
Παραδείγματα και εφαρμογές
Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας και σχετικά θέματα
Ο Θέματα σχετικά με ρίζες πολυωνύμων
Η διαδικασία της απαλοιφής μεταξύ πολυωνυμικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 2 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Ακολουθίες μιγαδικών αριθμών
Σειρές μιγαδικών αριθμών
Θεωρητικά θέματα σχετικά με ακολουθίες και σειρές
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ
Πυκνές ακολουθίες στον κύκλο
Θέματα σχετικά με ακολουθίες
Θέματα σχετικά με την σύγκλιση σειρών
Απειρογινόμενα
Κεφάλαιο 3 ΟΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ
Όρια συναρτήσεων
Συνεχείς συναρτήσεις
Ανοικτά και κλειστά σύνολα
Συμπαγή σύνολα
Ομοιόμορφη συνέχεια συναρτήσεων
Συνεκτικά σύνολα
Σύγκλιση κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Μιγαδικός διαφορικός λογισμός
Παράγωγοι συναρτήσεων πραγματικών μεταβλητών, οι οποίες παίρνουν μιγαδικές τιμές
Εξισώσεις Cauchy-Riemann
Η ολομορφία της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης
Αρμονικές συναρτήσεις
Γεωμετρική σημασία της μιγαδικής παραγώγου
Μετασχηματισμοί Mobius
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ
Παραδείγματα και εφαρμογές
Θέματα σχετικά με εξισώσεις Cauchy-Riemann
Ο Παραδείγματα σύμμορφων απεικονίσεων
Κεφάλαιο 5 ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Δυναμοσειρές
Συναρτήσεις οριζόμενες από δυναμοσειρές
Αναπτύγματα ειδικών συναρτήσεων σε δυναμοσειρά
Αναλυτικές συναρτήσεις
Σειρές Laurent
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ
Παραδείγματα και εφαρμογές
Παραδείγματα ολομόρφων συναρτήσεων με φυσικό σύνορο
Θέματα σχετικά με την συμπεριφορά δυναμοσειράς στα σημεία του συνόρου του δίσκου σύγκλισής της
Συναρτήσεις οριζόμενες από μετασχηματισμένες δυναμοσειρές
Κεφάλαιο 6 ΜΙΓΑΔΙΚΑ ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ CAUCHY
Καμπύλες στο επίπεδο
Μιγαδικό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
Το ολοκλήρωμα [...] και δείκτης στροφής κλειστής καμπύλης
Το θεώρημα του Cauchy σε κυρτά σύνολα
Αναλυτικότητα των ολομόρφων συναρτήσεων
Συνέπειες του θεωρήματος του Cauchy
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ
Παραδείγματα και εφαρμογές
Θέματα σχετικά με αναπτύγματα συναρτήσεων σε δυναμοσειρά
Το πρόβλημα των παραγουσών και σχετικά θέματα
Ολοκληρώματα που εξαρτώνται από παράμετρο
Ο τύπος του Poisson και το πρόβλημα του Dirichlet σε δίσκους
Κεφάλαιο 7 Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΩΝ CAUCHY-WEIERSTRASS-RIEMANN
Ρίζες ολομόρφων συναρτήσεων
Μεμονωμένες ανωμαλίες ολομόρφων συναρτήσεων
Αναπτύγματα Laurent
Λογισμός των ολοκληρωτικών υπολοίπων
Εφαρμογές των ολοκληρωτικών υπολοίπων
Το ολοκλήρωμα της λογαριθμικής παραγώγου και η αρχή του Rouche
Το θεώρημα σύγκλισης του Weierstrass
Γεωμετρικές ιδιότητες ολομόρφων συναρτήσεων
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ
Υπολογιστικά θέματα σχετικά με ολοκληρωτικά υπόλοιπα
Εφαρμογές του θεωρήματος σύγκλισης του Weierstrass
Αναπτύγματα μερομόρφων συναρτήσεων κατά Mittag-Leffler
Παραγοντοποίηση ακεραίων συναρτήσεων
Προβλήματα παρεμβολής
Απειρογινόμενα σχετικά με την Γ - συνάρτηση του Euler
Η [...] συνάρτηση του Weierstrass
Θέματα σχετικά με την σύγκλιση στο χώρο των ολομόρφων συναρτήσεων
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ