ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Παρουσίαση

Στο παρόν σύγγραμμα φιλοδοξούμε να παρουσιάσουμε τη σύγχρονη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης, η οποία, από την θεμελίωσή της στις αρχές του 20ου αιώνα μέχρι σήμερα, κατέχει κεντρική θέση στη Μαθηματική Ανάλυση.
Στον πρόλογό μας θα επιχειρήσουμε μια σύντομη ιστορική αναδρομή της θεωρίας και μια περιγραφή των συγχρόνων προεκτάσεών της (συνοδευμένη με ένα βασικό οδηγό βιβλιογραφίας).
Η σύγχρονη θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης έχει τις απαρχές της στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά. Οι πρώτοι μαθηματικοί υπολογισμοί μηκών, εμβαδών και όγκων, από τον ΙΠΠΟΚΡΑΤΗ τον Χίο και τον ΔΗΜΟΚΡΙΤΟ τον Αβδηρίτη, έδωσαν τη θέση τους στη μέθοδο της εξάντλησης, η οποία αναπτύχθηκε σε ένα θαυμαστό θεωρητικό και υπολογιστικό εργαλείο, από τον μεγάλο μαθηματικό ΕΥΔΟΞΟ τον Κνίδιο και τον ανυπέρβλητο ΑΡΧΙΜΗΔΗ τον Συρακούσιο. Μετά από διακοπή και οπισθοδρόμηση πολλών αιώνων, το νήμα της εξέλιξης των μαθηματικών ιδεών επανασυνδέθηκε, στη Δύση, με τη μετάφραση και διάδοση των έργων του Αρχιμήδη στα Λατινικά και με την ανάπτυξη των φυσικών επιστημών (Μηχανική, Αστρονομία, Οπτική). Κατά τον 17ο αιώνα συντελέσθηκε η συμπλήρωση του Απειροστικού Λογισμού, με το έργο πολλών Μαθηματικών, και ιδίως των Gottfried Wilhelm von LEIBNIZ και Isaac NEWTON. Με μεγάλη βραδύτητα η θεωρία της κλασσικής ολοκλήρωσης έφθασε στην τελική της μορφή, με τη συμβολή του Augustin Louis CAUCHY (στις αρχές του 19ου αιώνα) και ιδίως του Georg Friedrich Bernhard RIEMANN (μετά τα μέσα του 19ου αιώνα). Συγκεκριμένα ο Riemann κατέληξε στον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann στα 1854 (αν και η δημοσίευση έγινε στα 1867, μετά το θάνατό του). Στα αμέσως επόμενα χρόνια η ολοκλήρωση κατά Riemann ενσωματώθηκε στην Πραγματική Ανάλυση, που αναπτύσσονταν τότε έντονα από μαθηματικούς όπως οι K. Weierstrass, U. Dini, P. du Bois-Reymond.
Όμως η γόνιμη συνθήκη που περιέγραψε ο Riemann για την ολοκληρωσιμότητα μιας συνάρτησης, και η οποία εμπεριείχε την έννοια ενός συνόλου μέτρου μηδέν, έμεινε ανεκμετάλλευτη για περίπου τριάντα χρόνια. Οι Otto STOLZ, A. HARNACK και ο θεμελιωτής της συνολοθεωρίας Georg CANTOR, στα 1884-85, ήταν οι πρώτοι που επιχείρησαν να ορίσουν ένα είδος μέτρου για υποσύνολα Ευκλειδίων χώρων. Μερικά χρόνια αργότερα οι Giuseppe PEANO (1887) και Camille JORDAN, στην προσπάθειά τους να βελτιώσουν τον ορισμό του Cantor, κατέληξαν στις χρήσιμες έννοιες του εσωτερικού μέτρου (ή περιεχομένου) ενός συνόλου και του μετρήσιμου συνόλου. [...] (Από τον πρόλογο της έκδοσης)

Περιεχόμενα

Πρόλογος
1. σ-άλγεβρες - Ασκήσεις
2. Μέτρα - Ασκήσεις
3. Εξωτερικά μέτρα - Ασκήσεις
4. Βασικές ιδιότητες του μέτρου Lebesgue - Ασκήσεις
5. Μετρήσιμες συναρτήσεις - Ασκήσεις
6. Ολοκλήρωμα Lebesgue - Ασκήσεις
7. Μετρήσιμες συναρτήσεις και ολοκλήρωμα - Ασκήσεις
8. Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων - Ασκήσεις
9. Μέτρα γινόμενα - θεώρημα Fubini - Ασκήσεις
10. Προσημασμένα και μιγαδικά μέτρα - θεώρημα Radon-Nikodym - Ασκήσεις
11. Οι χώροι Lp - Ασκήσεις
12. Κανονικά μέτρα σε τοπολογικούς χώρους - θεώρημα αναπαράστασης του Riesz - Ασκήσεις
13. Στοχαστική ανεξαρτησία - ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών - Ασκήσεις
14. Διαφόριση πραγματικών συναρτήσεων - Ασκήσεις
Λύσεις Ασκήσεων
Βιβλιογραφία
Πίνακας συμβόλων
Ευρετήριο