ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Παρουσίαση

Το ανά χείρας εγχειρίδιο είναι η τακτοποίηση των πρόχειρων σημειώσεών μας για το μάθημα του "Διαφορικού Λογισμού ΙΙ", που διδάσκουμε στο Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ. Έρχεται μετά τα "Μαθήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού πολλών μεταβλητών", που ο δεύτερος εξ ημών συνέγραψε με τον εκλεκτό συνάδελφο και φίλο Ν.Χ. Μαντούβαλο. Έτσι, συμπληρώνεται η άποψή μας για την διδακτική προσέγγιση και παρουσίαση του Λογισμού πολλών μεταβλητών. Η άποψή μας αυτή παρουσιάζεται στον Πρόλογο των "Μαθημάτων Ολοκληρωτικού Λογισμού":
Δεν ήταν στις προθέσεις μας να γράψομε μια "Πραγματεία", Traite που λένε οι Γάλλοι. Οι Πραγματείες είναι πιο χρήσιμες στους διδάσκοντες παρά στους διδασκόμενους. Ούτε ένα ογκώδες βοήθημα όπου ο αρχάριος είναι εύκολο να πελαγώσει και να χαθεί. "Νήπιοι, ουδέ ίσασιν όσω πλέον ήμισυ παντός", έλεγε ο Ησίοδος στα Έργα και Ημέραι. Έτσι, καταλήξαμε στην συγγραφή ενός σύντομου και ισορροπημένου συνόλου με μορφή φιλική για τον αναγνώστη.
Τα 'Μαθήματα' αντλούν υλικό από διάφορες πηγές. "Τα λόγια μας είναι παιδιά πολλών ανθρώπων", για να θυμηθούμε τον ποιητή. Αναφέρομε ενδεικτικά τα εγχειρίδια των Γ. Γεωργανόπουλου και Π. Ξενικάκη, Τ. Χατζηαφράτη, Marsden και Tromba, τον μικρό Spivak.
Το υλικό παρουσιάζεται με τρόπο ζωντανό, "θυμίζοντας πολλές φορές την ατμόσφαιρα του αμφιθεάτρου, ώστε να προκαλέσει το ενδιαφέρον της πλειονότητας των φοιτητών. Η προσέγγιση της ουσίας είναι άμεση και συνοδεύεται συνήθως από ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα, το μοντέλο, όπως λέμε στην ακαδημαϊκή καθομιλουμένη. Το περιττό, το φλύαρο και το κενό, που στην εποχή μας έχουν πάρει το πάνω χέρι, έγινε προσπάθεια να εξοβελιστούν.
Προσπαθήσαμε να κρατήσαμε την ισορροπία ανάμεσα στην Ανάλυση και τον Λογισμό. Ο φοιτητής πρέπει να καταλάβει τις έννοιες και τα θεωρήματα, αλλά και να μάθει να λογαριάζει. Η έλλειψη του ενός εκ των δύο οδηγεί σε επικίνδυνες ατραπούς. Έτσι, όλα τα βαρεία θεωρήματα δίνονται με πλήρεις αποδείξεις. Η επεξεργασία των αποδείξεων, ώστε να παρουσιαστούν όσο το δυνατόν πιο καθαρές και εύληπτες, ήταν και χρονοβόρα και κουραστική. Ελπίζουμε να τα καταφέραμε. Αλλά αυτό θα μας το πουν οι φοιτητές μας. Τα θεωρήματα και οι ορισμοί συνοδεύονται από πληθώρα επιλεγμένων παραδειγμάτων, ώστε να εμπεδωθεί και να εφαρμοστεί η θεωρία, και να μάθει ο φοιτητής να λογαριάζει. [...] (Από τον πρόλογο της έκδοσης)

Περιεχόμενα

Πρόλογος
Ι Συνεχείς συναρτήσεις
1 Εισαγωγή
Η παράγωγος στις πολλές διαστάσεις
Το παράδειγμα της παλλόμενης χορδής
Συνέχεια
Μερικές παράγωγοι και ολική παράγωγος
2 Συνέχεια συναρτήσεων
Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων
Σύγκλιση ακολουθιών
Τοπολογικές ιδιότητες των συνόλων του Rn
Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων
Ασκήσεις
Η συνέχεια με ακολουθίες
Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων
Ιδιότητες της συνέχειας
Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιαμέσων τιμών
Ασκήσεις
Ομοιόμορφη συνέχεια
Συγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων
Ασκήσεις
II Διαφορίσιμες Συναρτήσεις
3 Μερικές παράγωγοι και διαφορισιμότητα
Μερικές παράγωγοι
Κλίση και παράγωγος
Ασκήσεις
Ιδιότητες της κλίσης
Μεταβολή της συνάρτησης και κλίση
Κλίση και ισότιμες επιφάνειες
Εφαπτόμενο επίπεδο και κλίση
4 Διαφορίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις
Παραγώγιση διανυσματικών συναρτήσεων
Κανόνας της αλυσίδας
Απόδειξη του κανόνα της αλυσίδας
Ασκήσεις
5 Τύπος του Taylor και τοπικά ακρότατα
Ανάπτυγμα Taylor δεύτερης τάξης
Αναλυτικές πραγματικές συναρτήσεις
Τοπικά ακρότατα
Το κριτήριο της Εσσιανής
Τετραγωνικές μορφές
Θεώρημα των τοπικών ακροτάτων
Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες
Ασκήσεις
6 Θεώρημα Αντιστροφής και Πεπλεγμένων συναρτήσεων
Θεώρημα Αντιστροφής
Ασκήσεις
Τοπική συμπεριφορά των μετασχηματισμών
Λήμμα του Morse
Θεώρημα των Πεπλεγμένων συναρτήσεων
Θεώρημα Πεπλεγμένων (ειδική περίπτωση)
Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή)
Ασκήσεις