ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (ΣΚΛΗΡΟΔΕΤΗ ΕΚΔΟΣΗ)

Παρουσίαση

Οι καμπύλες και οι επιφάνειες είναι μαθηματικά αντικείμενα που συναντούμε καθημερινά και για τα οποία τίθενται πολλά φυσιολογικά και εύλογα ερωτήματα. Η ακριβής μαθηματική διατύπωση τέτοιων ερωτημάτων και η απάντησή τους είναι το αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας. Η διαφορική γεωμετρία είναι ένας κλάδος που περιέχει κάποια από τα ωραιότερα και εμβριθέστερα αποτελέσματα των μαθηματικών, εν τούτοις πολλά από τα αποτελέσματα αυτά είναι προσβάσιμα από προπτυχιακούς φοιτητές ενός κάπως υψηλότερου επιπέδου.
Η Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία παρουσιάζει τα κύρια αποτελέσματα της διαφορικής γεωμετρίας των καμπυλών και των επιφανειών, προσεγγίζοντας το αντικείμενο με τον πλέον απλό και άμεσο τρόπο. Τα προαπαιτούμενα είναι απολύτως ελάχιστα - στοιχειώδεις γνώσεις γραμμικής άλγεβρας και λογισμού πολλών μεταβλητών. Το περιεχόμενο του βιβλίου προσφέρεται για μια εισαγωγή στο αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας και για ένα εξαμηνιαίο μάθημα. Η έκδοση περιέχει μεγάλο αριθμό σχημάτων που εικονογραφούν τόσο τις ιδέες του κειμένου όσο και τα παραδείγματα των καμπυλών και των επιφανειών που παρουσιάζονται. Επιπρόσθετα, υπάρχει ένα πλήθος ασκήσεων των οποίων οι πλήρεις λύσεις περιέχονται στο τέλος του βιβλίου. (Από την παρουσίαση της έκδοσης)

Περιεχόμενα

1 Καμπύλες στο επίπεδο και στο χώρο
Τι είναι μία καμπύλη;
Μήκος τόξου
Αναπαραμέτριση
Κλειστές καμπύλες
Καμπύλες στάθμης - Παραμετρισμένες καμπύλες
2 Πόσο καμπυλώνει μία καμπύλη;
Καμπυλότητα
Επίπεδες καμπύλες
Καμπύλες του χώρου
3 Ολομερείς ιδιότητες των καμπυλών
Απλές κλειστές καμπύλες
Ισοπεριμετρική ανισότητα
Το θεώρημα των τεσσάρων κορυφών
4 Επιφάνειες στις τρεις διαστάσεις
Τι είναι μία επιφάνεια;
Λείες επιφάνειες
Λείες απεικονίσεις
Εφαπτόμενες και παράγωγο ι
Κάθετες και προσανατολισιμότητα
5 Παραδείγματα επιφανειών
Επιφάνειες στάθμης
Τετραγωνικές επιφάνειες
Ευθειογενείς επιφάνειεςκαι επιφάνειες εκ περιστροφής
Συμπαγείς επιφάνειες
Τριπλά ορθογώνια συστήματα
Εφαρμογές του θεωρήματος της αντίστροφης απεικόνισης
6 Η πρώτη θεμελιώδης μορφή
Μήκη επιφανειακών καμπυλών
Ισομετρίες επιφανειών
Σύμμορφες απεικονίσεις επιφανειών
Ισεμβαδικές απεικονίσεις
Σφαιρική γεωμετρία
7 Καμπυλότητα επιφανειών
Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή .
Οι απεικονίσεις Gauss καιWeingarten
Κάθετη και γεωδαισιακή καμπυλότητα
Παράλληλη μεταφορά και συναλλοίωτη παράγωγος
8 Καμπυλότητα Gauss, μέση καμπυλότητα, κύριες καμπυλότητες
Καμπυλότητα Gauss και μέση καμπυλότητα
Κύριες καμπυλότητες επιφάνειας
Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss
Ισόπεδες επιφάνειες
Επιφάνειες σταθερής μέσης καμπυλότητας
Καμπυλότητα Gauss συμπαγώνεπιφανειών
9 Γεωδαισιακές
Ορισμός και βασικές ιδιότητες
Γεωδαισιακές εξισώσεις
Γεωδαισιακές επιφανειών εκ περιστροφής
Οι γεωδαισιακές ως συντομότεροι δρόμοι
Γεωδαισιακές συντεταγμένες
10 Theorema Egregium του Gauss
Οι εξισώσεις Gauss και Codazzi-Mainardi
Το έξοχο θεώρημα του Gauss
Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss
Γεωδαισιακές απεικονίσεις
11 Υπερβολική γεωμετρία
Μοντέλο του άνω ημιεπιπέδο υ
Ισομετρίες του H
Μοντέλο του δίσκου Poincare
Υπερβολικές παράλληλες
Μοντέλο των Beltrami-Klein
12 Ελαχιστικές επιφάνειες
Το πρόβλημα του Plateau
Παραδείγματα ελαχιστικών επιφανειών
Η απεικόνιση Gauss ελαχιστικής επιφάνειας
Σύμμορφη παραμέτριση ελαχιστικών επιφανειών
Ελαχιστικές επιφάνειες και ολόμορφες συναρτήσεις
13 Θεώρημα Gauss-Bonnet
Gauss-Bonnet για απλές κλειστές καμπύλες
Gauss-Bonnet για καμπυλόγραμμα πολύγωνα
Ολοκλήρωση σε συμπαγείς επιφάνειες
Gauss-Bonnet για συμπαγείς επιφάνειες
Χρωματισμός χαρτών
Ολονομία και καμπυλότητα Gauss
Ιδιάζοντα σημεία διανυσματικών πεδίων
Κρίσιμα σημεία