ΕΛΑΣΣΟΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΝ

Παρουσίαση

Η ευκλείδεια γεωμετρία, αναμφισβήτητα η "μητέρα όλων των μαθηματικών", είναι ταυτόχρονα ένας από τους πλουσιότερους σε αισθητικό περιεχόμενο κλάδους. Είναι επίσης ο κατεξοχήν δάσκαλος της τέχνης του σκέπτεσθαι, καθώς, πέρα από τη νοητική διαδικασία, στηρίζεται στην πρακτική κατασκευή του σχήματος. Η αισθητική προκύπτει ακριβώς από το σχήμα, του οποίου το αντίθετο είναι το ά-σχημο.
Το βιβλίο, μέσα από μια διαδρομή πολλών σχημάτων, παλαιών και νέων -υπάρχουν πάνω από 900 εγκατεσπαρμένα στο κείμενο- εισάγει πρώτα τους βασικούς ορισμούς και τα αξιώματα. Κατόπιν προχωρεί σε μια συστηματική εισαγωγή και μελέτη των βασικών σχημάτων. Τα βασικά σχήματα, τα οποία, συνήθως, είναι και αντικείμενο των μαθημάτων στο σχολείο, χρησιμοποιούνται κατόπιν στην ανάπτυξη ειδικών θεμάτων, από το απλούστερο στο πιο σύνθετο. Λόγω αυτής της δομής του, το βιβλίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τον αρχάριο, ακόμη και στο στοιχειώδες επίπεδο που δεν έχουν ορισθεί αρνητικοί αριθμοί, αλλά και τον πιο έμπειρο και αυτόν που θα διδάξει το μάθημα της γεωμετρίας.
Σε κάθε κεφάλαιο και κάθε παράγραφο παρατίθενται τα βασικά θεωρήματα-εργαλεία με τις αποδείξεις τους. Κατόπιν εξετάζονται εφαρμογές τους και ασκήσεις με υποδείξεις, άλλοτε εκτεταμένες σε πλήρεις λύσεις και άλλοτε πιο σύντομες. Με τον τρόπο αυτό αναπτύσσονται και θέματα που υπερβαίνουν τις δυνατότητες της διδακτικής ύλης. Δίνεται με αυτά ωστόσο η δυνατότητα στον ενδιαφερόμενο να αντιληφθεί πληρέστερα την ενότητα και τις προεκτάσεις των βασικών εισαγωγικών μαθημάτων. Ιδιαίτερη μέριμνα έχει καταβληθεί για την πληρότητα του ευρετηρίου και τις βιβλιογραφικές αναφορές. Έτσι ο αναγνώστης μπορεί να βρει άμεσα ορισμούς και εφαρμογές των διαφόρων εννοιών αλλά και εναλλακτικούς τρόπους θεώρησής τους. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)

Περιεχόμενα

1 Οι βασικές έννοιες
Αόριστες έννοιες, αξιώματα
Ευθεία και ευθύγραμμο τμήμα
Μήκος, απόσταση
Γωνίες
Γωνιών είδη
Τρίγωνα
Η ισότητα σχημάτων
Το ισοσκελές και το ορθογώνιο τρίγωνο
Κριτήρια ισότητας τριγώνων
Σχετικά μεγέθη γωνιών τριγώνου
Η τριγωνική ανισότητα
Η κάθετος από σημείο
Η παράλληλος από σημείο
Το άθροισμα γωνιών τριγώνου
Το αξίωμα των παραλλήλων
Συμμετρίες
Λόγοι, αρμονικές τετράδες
2 Κύκλος και πολύγωνα
Ο κύκλος, η διάμετρος, η χορδή
Κύκλος και ευθεία
Δύο κύκλοι
Κατασκευές
Παραλληλόγραμμα
Τετράπλευρα
Τα μέσα των πλευρών
Οι διάμεσοι τριγώνου
Το ορθογώνιο και το τετράγωνο
Άλλα είδη τετραπλεύρων
Πολύγωνα, κανονικά πολύγωνα
Τόξα, επίκεντρες γωνίες
Εγγεγραμμένες γωνίες
Εγγεγραμμένα τετράπλευρα
Γεωμετρικοί τόποι
3 Εμβαδά, Θαλής, Πάππος, Πυθαγόρας
Εμβαδόν πολυγώνων
Το εμβαδόν του ορθογωνίου
Εμβαδόν παραλληλογράμμου, τριγώνου
Πυθαγόρας και Πάππος
Όμοια ορθογώνια τρίγωνα
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Το θεώρημα του Θαλή
Δέσμες ευθειών
Όμοια τρίγωνα
Όμοια πολύγωνα
Θεωρήματα ημιτόνου και συνημιτόνου
Stewart, διάμεσοι, διχοτόμοι, ύψη
4 Η δύναμη του κύκλου
Δύναμη ως προς κύκλο
Χρυσή τομή, κανονικό πεντάγωνο
Ριζικός άξονας, ριζικό κέντρο
Οι κύκλοι του Απολλώνιου
Δέσμες κύκλων
Ορθογώνιοι κύκλοι και δέσμες
Κέντρα ομοιότητας δύο κύκλων
Αντιστροφή
Πολική και πόλος
5 Από τα κλασικά θεωρήματα
Παρεγγεγραμμένοι και έκκεντρα
Κύκλος του Euler
Θεώρημα του Feuerbach
Θεώρημα του Euler
Εφαπτόμενοι κύκλοι του Απολλώνιου
Ο τύπος του Ήρωνα
Οι ευθείες του Simson
Θεωρήματα Πτολεμαίου και Brahmagupta
Σημεία του Miquel
Άρβηλος και αλυσίδες του Steiner
Θεωρήματα των Fermat και Fagnano
Θεώρημα του Morley
Προσημασμένος λόγος και απόσταση
Διπλός λόγος, αρμονικές δέσμες
Θεωρήματα του Μενελάου και του Ceva
Το πλήρες τετράπλευρο
Θεώρημα του Desargues
Θεώρημα του Πάππου
Θεωρήματα του Pascal και του Brianchon
6 Κύκλου μέτρηση
Οι δυσκολίες, το όριο
Ορισμός της περιμέτρου του κύκλου
Ο αριθμός π
Το μήκος τόξου του κύκλου, ακτίνια
Ορισμός του εμβαδού του κύκλου
Το εμβαδόν κυκλικού τομέα
7 Μετασχηματισμοί του επιπέδου
Μετασχηματισμοί, ισομετρίες
Κατοπτρισμοί ή ανακλάσεις
Μεταφορές
Στροφές
Ισότητα
Ομοιοθεσίες
Ομοιότητες
Αντιστροφές
8 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο
Αξιώματα για το χώρο
Παράλληλα επίπεδα
Γωνίες στο χώρο
Ασύμβατες ευθείες
Ευθεία κάθετη σε επίπεδο
Γωνία ευθείας και επιπέδου
Θεώρημα του Θαλή στο χώρο
9 Στερεά
Δίεδρες γωνίες
Τρίεδρες γωνίες
Πυραμίδες, πολυεδρικές γωνίες
Τετράεδρα
Κανονικές πυραμίδες
Πολύεδρα, πλατωνικά σώματα
Πρίσματα
Κύλινδρος
Κώνος, κωνική επιφάνεια
Κόλουρος κώνος, ανάπτυγμα κώνου
Σφαίρα
Σφαιρικά πολύεδρα
Άτρακτος, γωνία μέγιστων κύκλων
Σφαιρικά τρίγωνα
Η παραπληρωματική τρίεδρος
10 Εμβαδά στο χώρο, όγκοι
Εμβαδά στο χώρο
Εμβαδόν της σφαίρας
Εμβαδόν σφαιρικών πολυγώνων
Χαρακτηριστική του Euler
Όγκοι
Όγκοι πρισμάτων
Όγκοι πυραμίδων
Όγκοι κυλίνδρων
Όγκοι κώνων
Όγκος της σφαίρας
11 Κωνικές τομές
Κωνικές τομές
Οι σφαίρες του Dandelin
Διευθετούσες
Γενικά χαρακτηριστικά κωνικών
Η παραβολή
Η έλλειψη
Η υπερβολή
12 Μετασχηματισμοί του χώρου
Ισομετρίες του χώρου
Κατοπτρισμοί του χώρου
Μεταφορές του χώρου
Στροφές του χώρου
Η ισότητα στο χώρο
Ομοιοθεσίες του χώρου
Ομοιότητες του χώρου
Βιβλιογραφία
Ευρετήριο