ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Παρουσίαση

Είναι γνωστό ότι με τον όρο "Άλγεβρα" στα Ανώτερα Μαθηματικά εννοούμε πλέον την "Αφηρημένη Άλγεβρα" που έχει ως αντικείμενο τις Αλγεβρικές Δομές (θεωρία συνδέσμων, ομάδες, σώματα, δακτύλιοι, κατηγορίες, ομολογική άλγεβρα, καθολική άλγεβρα).
Σκοπός του βιβλίου αυτού είναι να βοηθήσει τους φοιτητές των μαθηματικών τμημάτων των πανεπιστημίων της χώρας αφενός να κατανοήσουν τις βασικές έννοιες του μαθήματος "Άλγεβρα" (ή "Άλγεβρα Ι") (ακέραιοι αριθμοί, ομάδες, δακτύλιοι, σώματα, modules) και αφετέρου να αποκτήσουν την απαιτούμενη εμπειρία στη λύση των ασκήσεων. Το βιβλίο χωρίζεται σε τρία κεφάλαια που περιέχουν αντίστοιχα τις έννοιες "Σύνολα-Σχέσεις-Ακέραιοι αριθμοί, Ομάδες και Δακτύλιοι". Κάθε κεφάλαιο περιέχει συνοπτική θεωρία και ορισμένες κατηγορίες λυμένων ασκήσεων.
Θεωρήθηκε σκόπιμο για λόγους πληρότητας να συμπεριληφθούν και συμπληρωματικά θέματα που σε ορισμένα μαθηματικά τμήματα δεν διδάσκονται, όπως η δράση ομάδας, τα modules (πρότυπα), οι δακτύλιοι Noether, οι επεκτάσεις σωμάτων κ.ά.
Οι ασκήσεις κάθε κατηγορίας καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα συναφών με την αντίστοιχη επικεφαλίδα εννοιών. Ένα μέρος των ασκήσεων αυτών έχουν κατασκευασθεί από το συγγραφέα του βιβλίου, ενώ αρκετές ασκήσεις έχουν επιλεγεί από την ελληνική και ξενόγλωσση βιβλιογραφία. Περιέχονται ακόμα και ασκήσεις που έχουν δοθεί ως θέματα σε προπτυχιακές και κατατακτήριες εξετάσεις μαθηματικών τμημάτων ελληνικών και ξένων πανεπιστημίων.
Από τη θέση αυτή ευχαριστώ την κόρη μου μαθηματικό Ρούλα Σπανδάγου για τη μεγάλη βοήθειά της στην κατασκευή ή διασκευή διαφόρων ασκήσεων, στη διόρθωση των χειρογράφων, καθώς και για τις εύστοχες υποδείξεις της. Επίσης ευχαριστώ τον ερευνητή-μαθηματικό (διδάκτορα του Πανεπιστημίου του Berkeley) κ. C. Gipsou που είχε την ευγενική διάθεση να μου στείλει διάφορες ασκήσεις που έχουν δοθεί κατά καιρούς στα κυριότερα μαθηματικά τμήματα των κυριοτέρων πανεπιστημίων των Η.Π.Α. (Harvard, Princeton, Berkeley, Yale, Chicago, Μ.Ι.Τ., Stanford, κ.ά.).
Στην παρούσα έκδοση έχουν προστεθεί 20 νέες ασκήσεις που έχουν δοθεί ως θέματα σε διάφορα ελληνικά και ξένα Πανεπιστήμια.
Αθήνα, Νοέμβριος 2009, Βαγγέλης Σπανδάγος (Από τον πρόλογο της έκδοσης)

Περιεχόμενα

1: Σύνολα - Σχέσεις - Ακέραιοι αριθμοί
Συνοπτική Θεωρία
Ασκήσεις Λυμένες
2: Ομάδες
Συνοπτική Θεωρία
1η Κατηγορία Ασκήσεων
(Ημιομάδες - Ομαδοειδή - Ομάδες - Υποομάδες - Κυκλικές ομάδες - Τάξη ομάδας - Τάξη στοιχείου)
2η Κατηγορία Ασκήσεων
(Σύμπλοκα - Δείκτες υποομάδας - Θεώρημα Lagrange)
3η Κατηγορία Ασκήσεων
(Κανονικές υποομάδες - Συζυγείς υποομάδες - Συζυγή στοιχεία - Κέντρο ομάδας - Υποομάδα μεταθετών)
4η Κατηγορία Ασκήσεων
(Μεταθέσεις)
5η Κατηγορία Ασκήσεων
(Ομομορφισμοί - Είδη ομομορφισμών)
6η Κατηγορία Ασκήσεων
(Θεωρήματα Sylow - p-υποομάδες - Ευθύ γινόμενο - Ευθύ άθροισμα)
7η Κατηγορία Ασκήσεων
(Χαρακτηριστικές ομάδες - Πλήρως αναλλοίωτες ομάδες - Επιλύσιμες ομάδες - Μηδενοδύναμες ομάδες - Δράση ομάδας - Τροχιές στοιχείων ομάδας - Ομάδες Ελεύθερης στρέψης - Σειρές)
3: Δακτύλιοι
Συνοπτική Θεωρία
1η Κατηγορία Ασκήσεων
(Δακτύλιοι - Υποδακτύλιοι - Σώματα)
2η Κατηγορία Ασκήσεων
(Ιδεώδη)
3η Κατηγορία Ασκήσεων
(Πολυώνυμα - Δακτύλιοι Noether - Modules)
Συμβολισμοί
Βιβλιογραφία