ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Παρουσίαση

Το μάθημα που συνήθως λέγεται "Ανώτερα Μαθηματικά" έχει διαφορετική σημασία για διάφορους συγγραφείς. Για μερικούς σημαίνει βασικά το στοιχειώδη λογισμό από προχωρημένη σκοπιά, δηλ. με αυστηρές προτάσεις και αποδείξεις θεωρημάτων. Για άλλους σημαίνει μια ποικιλία ειδικών προχωρημένων θεμάτων, τα οποία θεωρούνται σπουδαία, αλλά δεν μπορούν να περιληφθούν σε μια στοιχειώδη σειρά μαθημάτων.
Σ' αυτό το βιβλίο έγινε μια προσπάθεια ενός λογικού συμβιβασμού μεταξύ των δύο ακραίων απόψεων που, πιστεύεται, θα εξυπηρετήσει μια ποικιλία προτιμήσεων. Τα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου προορίζονται γενικά στο να ανακεφαλαιώσουν και να επεκτείνουν βασικές έννοιες, που ήδη διδάχθηκαν στο στοιχειώδη λογισμό. Αυτά θα μπορούσαν να είναι χρήσιμα σ' εκείνους που έχουν ξεχάσει μέρος του λογισμού που διδάχθηκε προηγούμενα και σ' εκείνους που χρειάζονται "λίγο να τον φρεσκάρουν". Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να προσφέρουν τις βασικές γνώσεις στους σπουδαστές που έχουν πάρει διάφορων ειδών σειρές μαθημάτων στο στοιχειώδη λογισμό. Τα κεφάλαια προς το τέλος αναφέρονται σε ειδικά προχωρημένα θέματα, τα οποία είναι απαραίτητα για τον επιστήμονα μηχανικό και μαθηματικό, αν αυτός θέλει να προοδεύσει στον κλάδο που ακολουθεί.
Το βιβλίο αυτό έχει γραφεί για να χρησιμοποιηθεί είτε σαν ένα συμπλήρωμα όλων των συνηθισμένων συγγραμμάτων που κυκλοφορούν ή σαν ένα σύγγραμμα για ένα τυπικό μάθημα στον προχωρημένο λογισμό. Θα μπορούσε επίσης να φανεί χρήσιμο στους σπουδαστές που παίρνουν μαθήματα φυσικής, στους σπουδαστές των πολυτεχνικών σχολών ή σε οποιοδήποτε σπουδαστή από τους πολυάριθμους άλλους κλάδους που χρησιμοποιούν προχωρημένες μαθηματικές μεθόδους.
Κάθε κεφάλαιο αρχίζει με μια απλή διατύπωση των χρήσιμων ορισμών, αξιωμάτων και θεωρημάτων μαζί με διευκρινιστική και άλλη περιγραφική ύλη. Στη συνέχεια υπάρχουν ταξινομημένες ομάδες λυμένων και άλυτων προβλημάτων. Τα λυμένα προβλήματα βοηθούν στην επεξήγηση και εμπέδωση της θεωρίας, δίνοντας έμφαση σε εκείνα τα λεπτά σημεία που χωρίς αυτά ο σπουδαστής αισθάνεται συνεχώς να μην πατάει σε στερεό έδαφος, και προσφέρουν την επανάληψη των βασικών αρχών, η οποία είναι, ως γνωστό, τόσο αποτελεσματική στην αφομοίωση. Στα λυμένα προβλήματα περιλαμβάνονται πολυάριθμες αποδείξεις θεωρημάτων και τρόποι εξαγωγής βασικών αποτελεσμάτων. Ο μεγάλος αριθμός των άλυτων προβλημάτων με απαντήσεις βοηθάει στην πλήρη ανασκόπηση της ύλης κάθε κεφαλαίου.
Τα διαπραγματευόμενα θέματα περιλαμβάνουν το διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό συναρτήσεων μιας ή περισσότερων μεταβλητών και τις εφαρμογές του. Εισάγονται από νωρίς οι διανυσματικές μέθοδοι, που βοηθούν πολύ στο σύντομο συμβολισμό και στις γεωμετρικές και φυσικές παραστάσεις, και χρησιμοποιούνται οπουδήποτε μπορούν να προσφέρουν στη διατύπωση και κατανόηση. Ειδικά κεφάλαια περιέχουν επικαμπύλια και επιφανειακά ολοκληρώματα και τα σχετικά ολοκληρωτικά θεωρήματα, σειρές, γενικευμένα ολοκληρώματα, συναρτήσεις γάμα και βήτα και σειρές Fourier. Χαρακτηριστικά είναι τα κεφάλαια για τα ολοκληρώματα Fourier, τα ελλειπτικά ολοκληρώματα και τις μιγαδικές συναρτήσεις που θα μπορούσαν να φανούν εξαιρετικά χρήσιμα στη μελέτη προχωρημένων προβλημάτων των κλάδων του πολυτεχνείου, της φυσικής και των μαθηματικών.
Στο βιβλίο αυτό περιλαμβάνεται αρκετά περισσότερη ύλη από εκείνη που μπορεί να καλυφθεί σε συνηθισμένη σειρά μαθημάτων. Αυτό έγινε για να γίνει το βιβλίο περισσότερο ευέλικτο, για να προσφέρει στους αναγνώστες ένα πιο εύχρηστο πληροφοριακό περιεχόμενο και για να προκαλέσει περισσότερο ενδιαφέρον στα θέματα αυτά.
Επιθυμώ να επωφεληθώ από την ευκαιρία αυτή για να ευχαριστήσω το επιτελείο της Εκδοτικής Εταιρείας Schaum για την έξοχη συνεργασία με το συγγραφέα στην πραγματοποίηση, με προσπάθειες που φαίνονταν ατέλειωτες, μιας τέλειας εκδόσεως. (Από τον πρόλογο της έκδοσης)

Περιεχόμενα

Αριθμοί
Συναρτήσεις, όρια και συνέχεια
Ακολουθίες
Παράγωγοι
Ολοκληρώματα
Μερικές παράγωγοι
Διανύσματα
Εφαρμογές των μερικών παραγώγων
Πολλαπλά ολοκληρώματα
Επικαμπύλια και επιφανειακά ολοκληρώματα
Σειρές
Γενικευμένα ολοκληρώματα
Συναρτήσεις γάμα και βήτα
Σειρές Fourier
Ολοκληρώματα Fourier
Ελλειπτικά ολοκληρώματα
Μιγαδικές συναρτήσεις
Αγγλική ορολογία
Ευρετήριο